CRÓNICA
Juntas de la S. M. E.
ACTA DE LA SESIÓN CELEBRADA EL DÍA 8 DE FEBRERO DE 1917.
Se abrió la sesión bajo la presidencia del Sr. Marqués de Echandía.
Se leyó y aprobó el acta de la anterior.
El Sr. Jiménez Rueda dió cuenta de una observación del Sr. Guimaráes sobre la conveniencia de que la Sociedad Matemática tomara la iniciativa en el asunto de los tres problemas geométricos célebres de la antigüedad, a fin de reunir y publicar su historia y bibliografía en lo que ambas tienen de más interesante. El Sr. Mataix hizo observar que podría publicarse como tema a desarrollar puntualizando bien lo que se pretende y publicando luego en la REVISTA, o aparte, lo que fuera digno de publicación. El Sr. Pérez del Pulgar indicó que podría circunscribirse el tema a lo hecho en ese terreno por los españoles, lo cual tendría la ventaja de contribuir a la historia de las Matemáticas en España, y a propuesta del Sr. Jiménez Rueda la Junta acordó que se anuncie el trabajo con dos partes : una de carácter general y otra relativa a los trabajos de españoles.
Acto seguido se suscitó la cuestión de las deficiencias de la segunda enseñanza en España, y se acordó, tras alguna discusión, publicar nuevamente en la REVISTA el mismo Cuestionario que ya se expuso en otra ocasión, añadiendo algunas preguntas sobre puntos de interés, y publicar también un Resumen de las contestaciones recibidas hasta ahora :
ACTA DE LA. SESIÓN CELEBRADA EL JUEVES 8 DB MARZO DE 1917.
Abierta la sesión bajo la presidencia del Sr. Marqués de Echandía, fué leída y aprobada el acta de la sesión anterior.
El Sr. Ayza expuso a continuación, sirviéndose del encerado, un método original para la formación breve de una tabla de cuadrados y de cubos de los números naturales.
Acto seguido, el Sr. Fernández Arenas dió cuenta de un trabajo de D. Antonio de Miguel sobre un estudio analítico de la curva de la población, manifestando que convendría, para publicar el trabajo, pedir a su autor datos experimentales complementarios que hagan ver cómo los términos obtenidos por la fórmula en cuestión y los experimentales acusan diferencias comprendidas en los límites convenidos en la Estadística.
Después se leyeron varias soluciones a la cuestión núm. 103, quedando unas aceptadas y otras no, y acordándose la publicación de las primeras.
Últimamente se acordó que las sesiones ordinarias de la Sociedad-se celebren el segundo jueves de cada mes, en vez del primero, como venían celebrándose.
Nuevo Académico.
Nuestro director D. Cecilio Jiménez Rueda ha sido elegido Académico de número de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales.
En cumplimiento del acuerdo tomado en la sesión de Febrero, he aquí el
Cuestionario sobre la enseñanza Matemática secundaria.
Generalidades.
1. ¿Qué preparación matemática deben poseer los alumnos al ingresar en la segunda enseñanza ?
2. Admitiendo que los cursos de Matemáticas de la segunda enseñanza deben ser considerados a la vez como educativos y como preparatorios para estudios superiores :
a) ¿En qué proporción se deberá atender a cada uno de estos fines ? b)¿Qué ponderación convendrá establecer entre la teoría y sus aplicaciones prácticas inmediatas ?
3. ¿Conviene conservar la actual distribución de asignaturas en el, Bachillerato ?
4. En el caso de que deba modificarse, convendrá :
a) ¿Cambiar o ampliar simplemente la distribución actual ? b) ¿Adoptar el sistema cíclico ? c) ¿Abandonar el estudio independiente y sucesivo de la Aritmética, la Geometría, el Álgebra y la Trigonometría, y exponerlas convenientemente fusionadas ? ¿Qué plan se deberá adoptar en cada caso ?
5. ¿Convendrá extender la fusión al estudio de la Física, la Química y las nociones de Mecánica para poder aprovechar el material que proporcionan en la resolución de ejercicios y problemas de Matemáticas ? ¿Cómo podrá llevarse este plan a la práctica ?
6. ¿Convendrá añadir un curso con las nociones de Geometría analítica y descriptiva precisas para la inteligencia de mapas, planos, etc., y con las de Mecánica necesarias para llegar a entender los conceptos fundamentales de velocidad, aceleración, masa., trabajo, etc. ?
7. ¿Debe ser uno mismo, en extensión y carácter pedagógico, el cuestionario para la enseñanza Matemática en todos los Institutos de España ?
8. ¿Deben crearse clases especiales o dedicar buen número de lecciones del curso a la resolución de ejercicios y problemas de aplicación ejecutados individualmente por los alumnos ?
9. ¿Será conveniente substituir el estudio de la Geografía astronómica por un curso elemental de Cosmografía, llevándolo a uno de los últimos años ?
10. ¿Será conveniente formar dos grupos de alumnos, exigiendo una instrucción más completa de las Matemáticas y de sus aplicaciones a los alumnos que se propongan estudiar carreras científicas o técnicas ?
Aritmética.
11. ¿Convendrá introducir gradualmente el empleo de letras para representar los números, las ecuaciones de 1er. grado, muy sencillas, y el uso de números negativos para preparar la transición al Álgebra ?
12. ¿Debe explicarse la teoría de límites ?
13. ¿Qué extensión debe concederse a la teoría de números inconmensurables ?
14. ¿Con qué extensión y desde qué punto de vista debe exponerse la teoría de las operaciones con números concretos ?
15. ¿Con qué amplitud debe exponerse la teoría de la reducción de fracciones ordinarias a decimales, y viceversa ?
16. ¿Debe exponerse la raíz cúbica ?
17. ¿Debe generalizarse el uso de los complementos aritméticos ?
18. ¿Qué extensión debe concederse a las teorías del máximo común divisor, mínimo común múltiplo, números primos y compuestos ?
19. ¿Deben incluirse las teorías de las progresiones y logaritmos ? Y en caso afirmativo, ¿convendría recomendar el uso de tablas logarítmicas de 4 ó 5 cifras decimales con preferencia a las de 6 ó 7 ?
20. ¿Deben estudiarse las proporciones en la Aritmética, o conviene considerarlas como ecuaciones de 1.er grado, que resultan de la igualdad de fracciones en que uno de los términos es desconocido ?
21. ¿Convendrá introducir ejercicios de Geometría métrica, especialmente de mensuración de áreas y volúmenes ?
22. ¿Se deberá recomendar el cálculo mental y los métodos abreviados ?
23. ¿Convendrá que los alumnos adquieran alguna práctica del uso de máquinas calculadoras, y en especial de la regla logarítmica ?
Geometría.
24. ¿Deben exponerse separadas las Geometrías llamadas plana y del espacio, o conviene fusionarlas ? En este último caso, ¿qué alcance y extensión debe darse a esta fusión ?
25. ¿Debe exponerse la teoría de la semejanza con independencia de la homotecia ?
26. ¿Hasta dónde debe llevarse el estudio de los polígonos regulares, especialmente el cálculo de los lados ? ¿Deben estudiarse los polígonos estrellados ?
27. ¿Deben omitirse por completo los métodos geométricos para el cálculo de ?,
28. ¿En qué forma deben exponerse las teorías puramente métricas (líneas proporcionales, áreas, volúmenes, etc.) ?
29. ¿Con qué extensión debe estudiarse la teoría de los Poliedros regulares ? ¿Deben incluirse el teorema de Euler y sus consecuencias, y los poliedros estrellados ?
30. ¿Debe hacerse un estudio de las cónicas ? En caso afirmativo, ¿qué extensión deberá tener ?
31. ¿Hasta qué punto convendrá hacer uso del principio de dualidad ?
32. ¿Conviene asociar al estudio de la Geometría algunas nociones de dibujó geométrico ?
33. ¿Se debe recomendar el uso de modelos ?
34. ¿Hasta dónde debe llevarse el rigor y la generalidad de las definiciones y demostraciones ?
35. ¿Deben desarrollarse completamente las demostraciones de todas las proposiciones que se estudien, o es preferible limitarse a las más importantes, estudiándolas con mayor cuidado y atención ?
Álgebra.
36. En las operaciones con polinomios, ¿conviene limitar el estudio a expresiones que tengan sólo una o dos letras ?
37. ¿Debe explicarse el método de división de polinomios enteros en x-por el binomio x-a, y dar a conocer algunas de sus aplicaciones ?
38. ¿Deben explicarse las teorías de expresiones literales primas, máximo común divisor y mínimo común múltiplo de polinomios ?
39. ¿Debe exponerse la fórmula del binomio de Newton ? ¿Deben estudiarse las potencias de polinomios, salvo la segunda y la tercera ?
40. ¿Debe exponerse la teoría de raíces de los polinomios ?
41. ¿Qué nociones de la teoría coordinatoria deben exponerse ?
42. ¿Conviene introducir algunas nociones sobre la teoría de los determinantes ? En caso afirmativo, ¿ cuál deberá ser su extensión ?
43. ¿Convendrá introducir unas ligeras nociones acerca de los números imaginarios ?
44. ¿Qué métodos de eliminación deben explicarse en la teoría de las ecuaciones lineales ? ¿Conviene discutir las fórmulas de solución de los sistemas lineales con gran generalidad o sólo exponer algunos casos sencillos ?
45. ¿Qué desarrollo debe concederse a la idea de función y a su representación gráfica ? ¿Conviene introducir la noción de la derivada, asociándola con la pendiente de una curva en uno de sus puntos y con la definición de la velocidad ? ¿Deberá adoptarse la notación diferencial de Leibnitz ? ¿Convendrá llegar a las definiciones de las integrales definidas e indefinidas, limitando su aplicación a la función racional y entera, por ejemplo ?
46. ¿Convendrá prestar atención a los ejercicios numéricos de aplicación de fórmulas de Física y de Mecánica ?
47. ¿Será conveniente dar a conocer las tres categorías de la cantidad estudiando especialmente los infinitamente pequeños ? Aprovechando la noción del infinitamente pequeño, ¿convendrá definir el elemento de una línea curva, la tangente como prolongación del elemento ?
Trigonometría.
48. ¿Qué extensión se debe dar a la Trigonometría ?
49. ¿Conviene introducir las nociones de seno, coseno y tangente de ángulos menores que 900 al estudiar, en la Geometría, la medida de los ángulos y el triángulo rectángulo, con el fin de familiarizar al alumno con estos conceptos y conducirle insensiblemente a su aplicación correcta en la Trigonometría ?
EXPLICACIÓN DEL « ENSAYO DE ESCRUTINIO DE LAS CONTESTACIONES RECIBIDAS, ARREGLADO AL ORDEN DE LAS PREGUNTAS POR EL SR. MARQUÉS DE ECHANDIA.
Lista de los señores que han informado.
D. Luis Adalid Costa, Instituto de Bilbao. D. Pelayo Artigas, Instituto de Soria. D. Lauro Clariana, Universidad de Barcelona. D. Modesto Díaz del Corral, Instituto de Burgos. D. Juan Domínguez Berrueta, Instituto de Salamanca. D. Ángel Figuera, Ingenieros industriales y Escuela de Capataces de Bilbao. D. Miguel Hoyos, instituto de Logroño. D. Rogelio Masip, Instituto de Oviedo. D. Juan Ramonacho, Instituto de Tarragona. D. Juan Ras, Instituto de Tarragona. D. J. Val y de Reus (pseudónimo).
ADVERTENCIA.-Se han tenido en cuenta las opiniones del último señor a pesar de ser anónimas, porque el escrito revela la competencia de su autor.
1. (e y d), enteros y decimales. Los tres votos que se resumen así, significan, que debe exigirse muy poca preparación para el ingreso, limitada a las cuatro reglas, con números enteros y decimales.
(N de A y G), significa Nociones de Aritmética y Geometría y hay variedad de apreciaciones entre los incluidos en ese voto. Alguno de ellos entiende que es la asignatura de ese nombre en la segunda enseñanza. Para otros (la mayoría), supone sólo las cuatro reglas, con enteros y decimales, fracciones ordinarias, sistema métrico y nociones de Geometría, limitadas a las definiciones de las figuras comunes, o poco más, todo ello exclusivamente práctico y sin demostraciones.
2. En las dos partes a) y b) de esta pregunta se marcan claramente dos tendencias opuestas, que resultan casi equilibradas en la votación. En las contestaciones a
a), E significa educativo, P preparatorio ; en las relativas a b), p. significa predominio de la práctica, Eq significa equilibrio de las dos tendencias en ambas partes de la pregunta.
Las dos tendencias están caracterizadas por las contestaciones de los Sres. Adalid y Figuera.
El Sr. Adalid contesta :
a) Debe predominar el carácter educativo.
b) Práctica necesaria para comprender bien la teoría.
Y el Sr. Figuera :
a) . . .
b) La aplicación práctica siempre inmediatamente después de la teoría y aun muchas veces antes.
Es de observar que el Sr. Figuera, es profesor de una Escuela de Ingenieros industriales y de otra de Artes y Oficios.
Obsérvese también que esta pregunta está ligada con la 10, a la que muchos contestan afirmativamente, y se explica fácilmente que en este caso pretendan satisfacer a las dos tendencias en los dos ciclos.
3. Esta pregunta está también enlazada con la 10. Los que manifiestan, al contestar a la última, su opinión favorable a la bifurcación del Bachillerato, creando el Bachillerato en Ciencias, se entiende que contestan negativamente a la pregunta 3.
4. Sólo el Sr. Hoyos se adhiere francamente al sistema c). Los otros dos sistemas han obtenido tres votos cada uno, y uno de los favorables a a), señala la restricción de que el cambio no se ha de hacer ampliando, sino reduciendo los programas.
5. La opinión es contraria, en el supuesto de que se conserve el sistema actual, pero parece favorable a la fusión para el segundo ciclo, en caso de que se establezca. De los que votan en contra hay uno que la considera conveniente para una clase de repaso.
6. La opinión es contraria a la creación de una nueva clase en la situación actual, pero favorable para el caso de crearse el Bachillerato en Ciencias.
Uno de los informantes indica que esas materias se pueden distribuir entre las clases existentes, sin necesidad de crear otra nueva.
7. La opinión se manifiesta casi unánime en favor de un cuestionario único que señale límites, pero salvando la libertad de los profesores para componer los programas e imprimirles el carácter pedagógico que estimen conveniente. Aun el voto que se ha interpretado como contrario, más bien parece que se refiere á esto, y que no es opuesto a que se marquen los límites del cuadro de materias.
En cuanto al procedimiento para formar el cuestionario, se indican dos medios :
Uno de ellos consiste en abrir un concurso, adjudicando el premio al que se considere mejor.
El segundo, en la colaboración de todos los catedráticos, que votarían eligiendo las materias entre las de un cuadro bastante amplio formado por la Sociedad Matemática Española.
8. La opinión es unánimemente favorable a la necesidad de dar gran amplitud a la ejecución de ejercicios de aplicación, pero difiere en la manera de poner esto en práctica.
Hay partidarios de la creación de clases especiales, otros se oponen a ello y prefieren dedicar a ejercicios parte del tiempo disponible para las clases, y varios reclaman, para poder realizarlo, que se aumente el número de horas de clase.
9. La votación no parece bastante decisiva para resolver la cuestión. De 7 votos, hay 4 favorables y 3 adversos.
10. Puede deducirse del examen de los informes que la aspiración a la creación de un Bachillerato en Ciencias que comprenda un estudio más amplio de las materias de que se trata, es opinión casi unánime entre los informantes.
11. La cuestión queda resuelta afirmativamente, por 6 votos contra 1.
12 y 13. La opinión es casi unánime en el sentido de que las teorías de los límites y de los números inconmensurables deben ser tratadas muy sucintamente. Algunos distinguen entre los estudios elementales y los superiores del Bachillerato en Ciencias y opinan que no se deben tratar estos puntos en los primeros.
Las siguientes contestaciones del Sr. Masip parece que resumen con bastante aproximación la opinión general.
12. Se dará la definición de límite y se estudiarán las condiciones que debe cumplir una cantidad para poder ser considerada como, límite de otra.
13. Se demostrará que nA, si A no es potencia perfecta de grado n, no es ni un numero entero ni fraccionario, es un número al que se llama irracional o inconmensurable, que puede ser expresado con cuanta aproximación sea precisa.
14. La opinión general consiste en que se trate con amplitud la parte práctica.
El fundamento teórico debe ser la ley de proporcionalidad y la reducción a la unidad.
15. La opinión general consiste en que se estudien las reglas indispensables con su demostración elemental muy sencilla.
Uno de los informantes reprueba el uso del Álgebra al tratar de esta cuestión.
16. Hay unanimidad en favor de la supresión de la raíz cúbica.
17. La opinión es casi unánimemente opuesta a la generalización del uso de los complementos, salvo en el cálculo logarítmico.
i8. La opinión se manifiesta unánimemente favorable a que se exponga solamente y en forma muy elemental, lo indispensable para la simplificación de los cálculos numéricos.
19. Por 5 votos contra 2 resulta que las progresiones y los logaritmos se deben estudiar en la Aritmética.
La opinión es favorable generalmente a que se adopten tablas de 4 a 5 cifras decimales.
20. La opinión es unánimemente favorable al estudio de las proporciones en la Aritmética. Sin embargo, el Sr. Hoyos es de parecer que las reglas de aplicación, interés, descuento, etc., deben estudiarse en Álgebra, en substitución de otros problemas de pura curiosidad y sin utilidad práctica, que conviene eliminar de la enseñanza.
21. Todos manifiestan que estos ejercicios deben limitarse a casos muy sencillos, y dos de los informantes consideran como cosa indiferente que se ejecuten como ejercicios de Aritmética o de Geometría.
22. Todos advierten que el cálculo mental debe limitarse a casos muy sencillos, evitando fatigar la memoria, y se muestran poco inclinados a los métodos abreviados.
23. Hay empate. Los que votan afirmativamente se refieren sólo a la regla logarítmica, y alguno indica que este estudio corresponde al Álgebra.
Los que votan en contra admiten la conveniencia de introducir esta práctica en el caso de que se cree el Bachillerato en Ciencias en el ciclo correspondiente.
24. La opinión es manifiesta y unánimemente contraria a la fusión de las Geometrías plana y del espacio. El Sr. Adalid indica la necesidad de un ensayó antes de adoptarla. Casi todos convienen en que, aunque se expongan separadamente, se aprovechen las ocasiones de hacer notar las analogías de muchas proposiciones al estudiar la Geometría del espacio.
25. La opinión es francamente opuesta a que se introduzca en la segunda enseñanza la noción de homotecia.
26. Con una sola excepción, recomiendan todos que se limite el cálculo de los lados de los polígonos regulares a los correspondientes al triángulo, al cuadrado y al hexágono. Algunos aceptan que se incluya alguna noción muy ligera sobre los polígonos estrellados.
27. Todos opinan que se debe suprimir el cálculo de , indicando solamente la posibilidad de realizarlo con la aproximación que se desee.
28. Se recomienda la forma clásica y usual, que el Sr. Domínguez Berrueta define así :
« La forma elemental y clásica de dos paralelas que cortan a los lados de un ángulo... etc. »
El Sr. Masip recomienda que sólo se consideren segmentos, áreas y volúmenes conmensurables.
29. La demostración de que sólo existen cinco poliedros regulares. Todos opinan que se deben omitir el teorema de Euler, y los poliedros estrellados.
30. Respecto a la extensión con que se deben tratar las cónicas, fijan todos lo indispensable para trazarlas aplicando las definiciones usuales en los primeros elementos. Hay quien admite la exposición de algunas de sus propiedades más sencillas y elementales.
31. No es favorable la opinión a la introducción de la noción de dualidad en la segunda enseñanza. Aun los dos que la admiten recomiendan la mayor moderación, limitándola a la observación de alguna analogía.
32. Hay casi unanimidad (cinco votos contra uno) en favor de la asociación de las clases de Geometría y de nociones de Dibujo.
33. La opinión es favorable al uso de modelos, pero algunos opinan que esto corresponde más bien a la clase de Dibujo.
34. La opinión general coincide en que no se debe pretender un rigor exagerado en las demostraciones, ni gran generalidad en las definiciones. Observan algunos que esto debe variar, dependiendo de la edad y capacidad de los alumnos.
Parece que resume con bastante aproximación la opinión más general el párrafo siguiente de la contestación del Sr. Hoyos :
« No debe extremarse el rigorismo detallista, antes bien debe atenderse a que, apoderado el alumno de la idea sintética que abarca el plan o procedimiento demostrativo, quede, en todo caso, a su investigación, más o menos ayudada por las indicaciones del Maestro, la parte de pormenores. »
Hay varios que hacen observar que la comprensión debe perfeccionarse con la ejecución de muchos ejercicios.
35. Para que se perciban bien los matices y fundamentos de las contestaciones negativas, se copian a continuación algunas contestaciones breves.
Sr. Adalid.-Deben suprimirse todas las artificiosas, importantes o no, porque recargan la memoria sin desarrollar el raciocinio.
Sr. Domínguez Berrueta.-Es preferible limitarse a las más importantes, y las demás hacerlas trabajar a los alumnos como ejercicios mentales.
Sr. Figuera.-No ; las menos posibles para seguir la trama de la ciencia.
Sres. Ramonacho y Ras.-No hay necesidad de demostrar rigurosamente todas las proposiciones.
36. Es casi unánime la opinión favorable a la simplificación propuesta. El Sr. Figuera, que figura con voto negativo, dice :
« No limitarse de modo que parezca que sólo pueden tener dos letras, pero tampoco un montón de ellas. »
37. Se resuelve afirmativamente por gran mayoría.
38. Se resuelve negativamente por unanimidad entre ocho informantes.
39. Por gran mayoría resulta que debe estudiarse la fórmula del binomio de Newton. Todos recomiendan que este estudio sea muy elemental y algunos desean que se hagan aplicaciones de la fórmula, pero sin demostrarla.
Respecto a las potencias de los polinomios de más de dos términos, sólo hay alguno que admite la 2ª y la 3ª, determinadas directamente o por la fórmula del binomio aplicada repetidamente.
40. Es unánime la opinión negativa. Sólo los Seas. Ramonacho y Ras admiten que se dé una idea general.
41. Casi todos opinan que se deben estudiarlas coordinaciones, y permutaciones en la forma acostumbrada para la demostración usual y clásica de la fórmula del binomio de Néwton.
42. Se recomienda, por unanimidad, que se den las nociones suficientes para llegar al desarrollo según los elementos de una línea o columna y su aplicación a los temas de ecuaciones lineales (regla de Cramer).
Las aplicaciones, según algunos de los informantes, deben limitarse al 2º y 3er. grado.
43. Se recomiendan, por mayoría, ligeras nociones sobre los números imaginarios, limitadas a la definición, extensión de las operaciones fundamentales y representación geométrica.
44. Los métodos que se recomiendan son los de substitución, reducción y determinantes. Cuatro opinan que se deben omitir las discusiones ; dos, que se deben limitar a casos particulares sencillos, sin pasar del 3er. grado, y dos recomiendan las discusiones con toda generalidad.
45. Todos aceptan la introducción de la noción de función y su representación gráfica. De ocho informantes, cuatro la limitan al estudio de las funciones y=ax+ b, y=ax2+bx+c, sin definir la derivada. Tres admiten que se defina la derivada como pendiente de una curva en un punto ; y solamente uno, el Sr. Clariana, desea que se incluya la notación diferencial y la noción de integral definida e indefinida.
Hay varios que indican que podría ampliarse algo el cuadro de estudios que proponen acerca de este punto en el caso de adoptarse la bifurcación del Bachillerato.
46. La opinión es desfavorable a los ejercicios numéricos de Física y de Mecánica. Dos opinan que eso corresponde exclusivamente a esas asignaturas, y los demás las aceptan condicionalmente con grandes restricciones.
47. La opinión rechaza esta proposición. Solamente el Sr. Clariana la acepta sin distingos. El Sr. Adalid manifiesta que puede intentarse. Dos la rechazan en absoluto. Tres la aceptan con grandes limitaciones.
48. Se recomienda, por unanimidad, la extensión que se da actualmente a la Trigonometría lo indispensable para llegar a la resolución de los triángulos rectilíneos.
Hay quien recomienda mayor extensión, llegando a incluir la Trigonometría esférica, en el caso de crearse el Bachillerato en Ciencias.
49. Resulta una mayoría de cuatro votos contra dos, favorable a la proposición designada con este número en el Cuestionario.
Como el objeto que se persigue es el de llegar a precisar el carácter, extensión, métodos de enseñanza, procedimientos para una buena selección de lo útil y para una gran divulgación en España de los conocimientos matemáticos elementales que puedan constituir una ancha base para elevar los superiores, a pesar de ser tan autorizadas las once contestaciones recibidas, conviene consultar a más señores.
Las contestaciones que se solicitan al cuestionario que precede, redactado por la Sociedad Matemática Española en 1915, podrán concretarse a las preguntas en él contenidas y también a otras que los propios informantes formulen. Si de esta especie de plebiscito resultara una mayoría de conclusiones encauzadas en un mismo sentido o poco discrepantes, podrían ser el fundamento de una reforma pedagógica provechosa que la Sociedad Matemática Española redactaría y recomendaría al Sr. Ministro del ramo.
Pero es menester que los señores informantes se hagan cargo bien que de lo que se trata es de una reforma honda, que vaya contra las más arraigadas rutinas y, por lo mismo, toda buena orientación ; aunque sea muy radical, será bien acogida. Es menester dejar buen margen a la primera enseñanza y no poco que hacer a sus profesores, y hay que dejar bien deslindado el campo de la primera y de la segunda enseñanza. Luego podar mucho inútil, seleccionar y ordenar lo que quede, elevar el nivel de esta enseñanza y hacerla agradable y útil.
Seminario de Matemáticas elementales.
Con aprobación de la Facultad de Ciencias han organizado este curso en la Universidad los profesores que suscriben un Seminario de ampliación de Análisis y Geometría para ejercitar en el conocimiento y manejo de la bibliografía a los alumnos, de los primeros cursos de la Facultad que lo deseen como preparación conveniente para poder emprender más tarde trabajos de investigación sobre problemas propuestos en los cursos superiores del doctorados.
1ª. Los alumnos que quieran tomar parte activa en estos ejercicios semanales o asistir a ellos, como oyentes manifestarán su deseo al Catedrático respectivo, quien se reserva el deseo de admisión.
2ª. Los ejercicios consistirán en el desarrollo de cada tema señalado, por el alumno o alumnos que lo elijan entre los propuestos.
3ª. Las primeras sesiones se dedicarán a la exposición sumaria, hecha por el profesor, de los temas que han de ser desarrollados en este curso.
4ª. Los alumnos que deseen tomar parte activa en los trabajos recibirán la orientación adecuada al tema elegido, disponiendo para su preparación de los libros necesarios, tanto de la Facultad de Ciencias como del Laboratorio Matemático de la Junta para ampliación de estudios, y prepararán bajo la dirección del profesor el manuscrito que les haya de servir de guía para la exposición.
5ª. Los restantes alumnos admitidos pueden asistir a las sesiones en calidad de oyentes, pudiendo en todo momento hacer las observaciones o preguntas, que les sugiera el desarrollo de la conferencia.
Madrid 2 de Febrero de 1917. =J. REY PASTOR, J. ALVAREZ UDE.
Grupo de Análisis algebraico elemental.
Tema 1° Sucesión de Fibonacci.
2º Índices modulares y sus aplicaciones.
3° Cuadros aritméticos.
4° Grupos de substituciones.
5º Grupos de movimientos de los poliedros regulares.
6° Paréntesis de Gauss.
7° Representación de Klein de las fracciones continúas
8° Sumas alternadas notables.
9° Sumación de progresiones hipergeométricas.
10° Determinantes especiales.
El profesor, J. Rey Pastor.
Primera sesión, martes 6 de Febrero.
Local, aula núm. 9.
Grupo de Geometría proyectiva.
Tema 1 ° Elementos imaginarios de primera especie.
2° Rectas imaginarias de segunda especie.
3° Representaciones reales de los elementos imaginarios.
4.° Relación real-proyectiva entre figuras de primera, segunda o tercera categoría.
El profesor, J. Alvarez Ude.
Primera sesión, miércoles 7 de Febrero. Local, aula núm. 7.
Libro antiguo.
Hemos recibido el ejemplar del Corachan Aritmética Teórica Práctica 1757, que D. Tomás Martín Gil envía para la biblioteca de la Sociedad Matemática Española.