PROLOGO.

Una vez que nos propusimos incluir en los tres primeros Tomos de esta Obra toda la Matemática Pura o Especulativa que habia de llevar, era natural le tocasen al tercero los asuntos de mayor elevacion. Pero cómo no todos son, ni pueden ser igualmente dificultosos, era preciso diésemos el primer lugar á los menos elevados, aun quando no sirvieran como de introduccion para la inteligencia de los demas.

Por este motivo declaramos desde luego, bien que con suma brevedad, los fundamentos de toda la teórica de las líneas curvas algebraicas, llamadas con este nombre porque se puede cifrar su naturaleza en expresiones que no llevan mas símbolosque los que usa el Algebra Cartesiana sin incluir cantidad alguna infinitesimal, logarítmica trigonométrica, &c. Lo poco que sobre este asunto publicamos está sacado de una obra del célebre Cramer, Ginebrino [1], que por su mucha claridad, tanto como por lo profundo de sus investigaciones, fue recibida con general aplauso. Estos primeros principios pudiéramos tambíen haberlos sacado de la Introduccion de Leonardo Euler á la Analisis de los infinitos en cuyo tomo segundo trata con aquella maestría que es el carácter distintivo de todos sus escritos, la misma materia que Cramer ; pero su tratado nos pareció, por mas conciso, mas dificultoso de extractar, y este fue el único motivo por que dimos la preferencia á la Obra del Matemático de Ginebra. A todo aficionado de buen talento, y bien radicado en los diferentes ramos del cálculo algebraico, le aconsejamos se la dé al tratado del Sr. Euler, leyendo primero, si quisiere (y acaso no le pesará), un extracto que de él hizo el Traductor Francés del Algebra de Maclaurin [2]. Aunque de talento, doctrina y destreza iguales dos Escritores, pueden sin embargo escribir sobre una misma materia por rumbos muy distintos, sin que en sus obras se eche menos ninguna de’ las prendas que les merecen lugar á los escritos en la clase de cabales. Pero sobre que un lector, quanto mayor sea su penetración, tanto mas gusta de tratados concisos, tiene también mas cuenta echar mano de ellos, como no equivocasen sus autores al tiempo de formarlos un escrito conciso con un escrito oscuro ó diminuto ; porque al paso que se apropia la doctrina que declaran, se le pega también, digamoslo así, al que estudia la manera del autor : y nadie negará que en igualdad de circunstancias un libro, sea el que fuere su asunto, escrito con prudente laconismo lleve algunos quilates de ventaja á otro donde esté todo tan individualizado, y estén tan multiplicados los exemplos, que pueda ser algo molesto á un lector que guste de meditar. Los que buscaren acerca de estas curvas mucha doctrina en poco papel, podrán acudir al Tomo primero de las Instituciones analíticas de Ricati ; bien que dudamos haya para contentarles obra tan buena como la que publicó un docto Magistrado del Parlamento de París [3] en un tomito en 12. pequeño de unas 200 planas. En esta Obrita tan apreciable como desconocida, hallarán muchísimo que aprender los principiantes, y los que estuvieren impuestos en estas materias un primoroso prontuario que les servirá para renovar á muy poca costa las especies, que en tratados muy voluminosos hubieren aprendido.

A continuación de los principios generales de la doctrina de las curvas algebraicas, tratamos con alguna individualidad de las que se han hecho muy famosas con el nombre de secciones cónicas, copiando los tres primeros libros del tratado analítico que de ellas escribió el Marques del Hospital, Francés ( [4] . A pesar de las tachas que algunos han querido poner á la Obra del Marques, es sin duda alguna la mas cabal y perfecta que se ha publicado sobre este asunto, á lo menos por el método analítico [5] ; reparándose al mismo tiempo en ella, como en todo lo que salió de la misma mano, una elegancia de construcciones que enamora, y una claridad y despejo que no siempre se hallan en las Obras de los Escritores que intentaron deslucirla. No porque se note un leve descuido en una obra de considerable extensión dexará de ser excelente, así como no dexarémos de graduar de insigne á un escritor, porque dé en sus escritos alguna muestra de que no fue un hombre infalible [6]

El haber declarado á nuestra satisfacción las principales propiedades de las secciones cónicas, considerándolas como trazadas en un plano por un cuerpo que se mueve con movimiento ajustado á ciertas leyes determinadas, no podía de ningún modo dispensarnos la obligación de considerarlas también en el cono, de donde traen su nombre y origen. Muchas investigaciones y obras matemáticas suponen el conocimiento de este origen, cuya declaración va copiada del Curso de M. Bezout, porque le dá á conocer con mucha claridad, bien que con muy pocas palabras. Finalmente, como la aplicación de la Especulativa á la Práctica, y también muchas cuestiones de Especulativa piden que se tracen secciones cónicas, proponemos para esta operación un método generalísimo que sirve para todas tres, qual le hallamos en el tratado del Marques, de donde hemos copiado lo demas.

Entre varias extrañezas con que tropieza el entendimiento humano en el estudio de las Matemáticas, es muy notable la que manifestamos en el Tomo antecedente acerca de algunos números imposibles de averiguar, siendo así, que es facilísimo hallar el producto de unos por otros, y también la razón que entre ellos hay. Pero otra singularidad hay enlazada con un punto que tratamos en este Tomo, quando declaramos como se sacan cabales por líneas las raíces de las equaciones aun quando es imposible determinar por números sus valores. Esta que podrá parecer paradoxa, es una proposición muy evidente para quien considerara que según sean los valores numéricos de los lados de un triángulo rectángulo, no habrá camino alguno por donde hallar cabal por números el valor de su hipotenusa ; siendo así que el determinarla por líneas será operación facilísima. El método que han discurrido los Matemáticos para resolver por Geometría las equaciones determinadas superiores, consiste en suponer dos equaciones indeterminadas, ó con dos variables, que cada una pertenezca á una sección cónica distinta, y en trazar después estas curvas por construcción, tomando las abscisas de ambas en un ege comun : hecho esto, desde los puntos donde las dos secciones cónicas se intersecan se tiran ordenadas comunes al ege, cuyas porciones desde el origen hasta los puntos donde dichas aplicadas le encuentran, expresan los valores de las raíces de la equacion determinada que se ha de resolver.

Hemos dicho que se han de trazar por construcción las, curvas cifradas en las dos equaciones indeterminadas que se forman para la resolución de la equacion fundamental ; porque mediante una equacion indeterminada se puede trazar de dos distintos modos la curva que representa. El primero [7]consiste en dar sucesivamente diferentes valores á la una de sus indeterminadas, pongo por caso, á la abscisa, con lo que la otra indeterminada se transforma en incógnita ( [8] , y sacando sus valores con resolver la equacion puesta en estos términos, la curva trazada con mano suelta por los extremos de todas estas ordenadas, será la que iba cifrada en la equacion indeterminada propuesta. El otro modo de trazar las curvas, que llamamos por construcción, se reduce á hallar primero el valor y la posición de algunas de sus líneas principales, y hallados estos, en trazar la curva por un método fundado en la naturaleza y destino de dichas líneas. Con un egemplo muy sencillo procuraremos darnos mejor á en- : tender. Dada la equacion de una parábola, por egemplo, es constante que con señalar diferentes valores á la abscisa iremos sacando diferentes valores de la ordenada o distintas ordenadas, por cuyos extremos ha de pasar y trazaremos la parábola. Pero si dada la misma equacion,, determino primero el parámetro, la posición de su ege ó diámetro, el ángulo que han de formar las coordenadas, y, sujetándome á las condiciones que estas determinaciones me impongan, trazo la parábola por alguno de los métodos conocidos, fundados en la naturaleza de estas líneas, esto será trazarla por construcción.

Este es cabalmente el método peculiar á los lugares geométricos ; de modo que hallar el lugar geométrico de una equacion indeterminada perteneciente á una sección cónica, o, lo que es todo uno, á una línea de segunda orden [9], es trazar por construcción la sección cónica que en dicha equacion está cifrada. Y una vez que, según decíamos poco ha, declaramos cómo se resuelven las equaciones determinadas de tercero y quarto grado por la intersección de dos secciones cónicas cifradas en las equaciones indeterminadas auxiliares, el empeño está 1º en formar estas equaciones auxiliares ; 2º en averiguar qué sección cónica representa cada una de ellas ; 3º en trazarlas, señalando las abscisas de ambas en una misma recta. Esto es cabalmente lo que declaramos sin apartarnos un punto de la doctrina del Marques del Hospital.

Después de formada la una de las dos equaciones indeterminadas auxiliares, se saca la otra con suma facilidad ; pero la elección de la primera pide algún pulso, por, el riesgo que se corre de que sea de tal índole que resulten imaginarias las intersecciones de las dos secciones, que determinan las raíces de la propuesta. Nos tocaba, pues, enseñar cómo se precave este grave inconveniente, y no hallamos cosa mas adequada á nuestro intento que copiar las reglas y los egemplos que con el mismo fin trae Gabriel Cramer en su obra citada.

Últimamente, como no hay modo mas acertado de hacer perceptibles los preceptos teóricos que aplicarlos á casos prácticos, y egemplos bien escogidos ; una vez satisfecho el reparo expresado, resolvemos algunas cuestiones, así determinadas, como indeterminadas, todas sacadas del Tratado Analítico del Marques, á excepción de la que se dirige 1 hallar dos líneas medias proporcionales entre otras dos líneas dadas, que copiamos de las Instituciones de Vicente Ricati.

A pesar de lo mucho que nos. Mostramos preocupados á favor del tratado de las secciones cónicas del Marques del Hospital, de donde, según queda dicho, hemos sacado también la doctrina de los lugares geométricos, y la construcción de las equaciones determinadas de tercero y quarto grado ; hemos de confesar que toda esta doctrina está tratada por un término mucho mas sencillo y despejado en el Tomo IV. de los Elementos del P. Gherti, donde la aplicación del Algebra á la Geometría está magistralmente declarada. Es tanto lo que nos ha dexado satisfechos, que si hubiéramos de formar hoy día este Tomo tercero, sacaríamos gustosísimos todos los asuntos de que hemos dado hasta ahora individual razón de la Obra del Escritor Italiano. En ella está propuesta primorosamente la teórica de las curvas algebraicas, hermanando con tal destreza su autor el método de Euler con el de Cramer, que con extractar ambas Obras ha formado un tratado preciosísimo. Los entendimientos ansiosos de conocer diferentes caminos por donde llegar á un mismo paradero, hallarán en el tomo primero del Comentario de M. Castillon á la Arismética universal de Newton, otro modo dé considerar los lugares geométricos, donde manifiesta, entre otras cosas, aquel diligente Comentador, siguiendo las huellas de Euler [10], como por la naturaleza de los factores del primer término de una equacion indeterminada, se averigua á qual de las tres secciones cónicas pertenece. Pero para trazar la sección cónica cifrada en una equacion indeterminada, no hay método ninguno que en punto de elegancia y sencillez pueda competir con el de Herman, que con muchos, bien que muy merecidos elogios trae Vicente Ricati en sus Opúsculos.

Después de todo lo declarado hasta aquí, sol o nos faltaba para concluir este Tomo engolfarnos en el cálculo infinitesimal cuyos dos ramos principales son el cálculo diferencial y el cálculo integral. Solo el nombre de las cantidades que el cálculo diferencial considera, espanta á los principiantes hombres ha habido de mucho talento, y no menos doctrina, que le han mirado con desconfianza. Porque como el objeto del cálculo diferencial es, según han dicho muchos, señalar la razón ó relalacion que hay entre los elementos infinitamente pequeños de las cantidades finitas, y tina cantidad infinitamente pequeña parece incomprehensible ; experimentó desde su nacimiento este cálculo no poca oposición de parte de algunos Matemáticos, y no halló en los principiantes la acogida que tan justamente se merece, por no haber manifestado sus fundamentos como debieran sus promovedores. La primera obra que se escribió de intento sobre este cálculo, fue también parto del Marques del Hospital [11] y aunque se hallan en este escrito todas las circunstancias que hacen recomendable todo lo que publicó este ilustre Matemático ; es á saber, claridad en la explicación y elegancia en las construcciones, y tino en la elección de los egemplos, sin embargo no resuelve ninguna de las dudas que suelen ofrecerse acerca de los fundamentos de la doctrina que declara. Bien pudiera el Marques haberse tomado este trabajó á muy poca costa, pues tenia ya sentados estos fundamentos Newton, inventor de este cálculo [12] desde el año de 1687 por un término que no puede menos de dexar satisfecho á todo lector de bien organizado entendimiento. [13]

El mismo descuido que el Marques del Hospital padeció, también le padecieron los mas de los Matemáticos, que después de él escribieron sobre este cálculo ; alentando su omisión á algunos hombres poco afectos á este nuevo ramo de analysis, 6 poco enterados de la gran conformidad de sus resultados con las ilaciones del método geométrico mas riguroso, para que escribieran contra su certeza. Cabalmente los mayores tiros se le hicieron en el mismo país de su nacimiento, donde se publicó un libro con el título irónico de el Analista, cuyo autor se empeñó en desacreditar el cálculo diferencial. Pero salió allí mismo en su defensa el docto Maclaurin, Escocés [14] , manifestando sus Fundamentos por el método de los antiguos Matemáticos, y aplicándole de camino, igualmente que el cálculo integral, con suma felicidad y magisterio á muchísimos puntos de la Matemática mixta. Pocos escritos conocemos que acrediten tanto como la Obra de Maclaurin la profunda doctrina y penetración de sus autores, y aconsejamos su estudio á todo aficionado que tuviere el noble deseo de ser matemático de provecho : no solamente conseguirá radicarse plenamente en los fundamentos del cálculo infinitesimal, mas también logrará acaso adiestrarse en la práctica del método sintético, y podrá celebrarlo por mucha fortuna.

Las dudas y contradicciones que se originaron de haber andado tan descuidados los primeros matemáticos que escribieron sobre el cálculo diferencial en declarar sus fundamentos, ha obligado á los que han tratado después el mismo asunto á manifestar quan seguro es el uso de este cálculo, probando que no es nada ageno del método geométrico mas riguroso. Así lo egecutó M. Euler en el cap. 3. del tomo primero de su Cálculo diferencial ( [15] ; M. D’Alembert en sus Miscelaneas [16] ; Ricati en el tomo segundo de sus Instituciones ; y M. Cousin en sus Lecciones de cálculo diferencial é integral [17]. Pero quasi todos estos escritores han seguido distintos rumbos en esta declaración : Euler, de la consideración de las diferencias finitas pasa á considerar las diferencias infinitamente pequeñas, que mira como un caso particular de las primeras ; Ricati se empeña en hacer patente lo mucho que concuerda el modo de discurrir de los antiguos en la medición de los espacios curvilíneos con el que siguen los partidarios del nuevo cálculo, y tratando de la geometría del infinito, demuestra algunas proposiciones que son de muchísimo uso en la aplicación de los métodos recientes ; M. Cousin considera los infinitamente pequeños como el límite de la razón entre las diferencias finitas [18], y por último. M. D’Alembert apea en pocas palabras, siguiendo y aclarando la doctrina de Newton, las dificultades que podrían molestar á los principiantes.

Por haber seguido M. D’Alembert las huellas de Newton, que considera el cálculo diferencial como, el cálculo de los límites de las razones, y por la brevedad y magisterio con que le ilustra, copiamos en una introducción lo que trae sobre este asunto en la citada Obra, sin mas alteración que añadirle un pedacito sacado de Ricati [19], que también consideró este punto por el mismo lado que el Matemático Francés. Pero primero trasladamos del libro quinto del tratado Analítico del Marques del Hospital algunas proposiciones muy fundamentales para aplicar los nuevos cálculos á la geometría ; por manera, que en lo que dexamos sentado de intento en el Tomo II acerca del infinito, é infinitamente pequeño, y en lo que añadimos ahora en esta introducción hay, si no nos halucinamos, quanto se necesita para proseguir con toda confianza, y sin tropiezo alguno, el estudio del cálculo infinitesimal. Y últimamente, si hubiere alguno que no se dé por satisfecho, ni con lo que aquí publicamos, ni con lo que se halla en las Obras citadas, acaso le satisfará mejor el P. Escarela en el tomo primero de su Física general [20], donde propone y satisface por el método de los escolásticos los mas de los argumentos con que se ha procurado desacreditar el cálculo diferencial. En el tomo segundo de su Algebra resuelve Saunderson una cuestión de Geometría Elemental y hace acerca de su resolución algunas consideraciones muy fundamentales sobre este asunto, y muy dignas de leerse.

En lo que hemos dicho acerca del rumbo que han seguido algunos Matemáticos para aclarar con toda ’evidencia los fundamentos de este cálculo, insinuamos que para explicarse á su satisfacción acerca de las diferencias infinitamente pequeñas, esperaron sacar alguna luz de la consideración de las diferencias finitas. Este es el motivo por qué trata de estas con algún cuidado el Sr. Euler en su Cálculo diferencial, y es el único Matemático del continente de Europa que sepamos se haya exercitado en está materia [21] . Sobre el método de las diferencias finitas, que Taylor, Inglés, su inventor, llama método de los incrementos, hay de Emerson tan tratado de propósito [22], donde hace de este método, muy enlazado con el de las fluxiones aplicaciones muy curiosas, quexándose en su Prólogo de que ha tenido pocos partidarios [23]

Hechos patentes los fundamentos del cálculo diferencial, enseñamos cómo se diferencian las cantidades, sean las que fueren, racionales, irracionales, logarítmicas, exponenciales, trigonométricas, y después le aplicamos, copiando á M. Bezout, á la declaración de algunos puntos de la teórica de las curvas algebraicas, antes de dar á conocer la naturaleza de algunas curvas transcendentales ó mecánicas, y particularmente de las espirales [24] . Para representar su diferencial usamos la letra d, y no un punto, conforme estilan los ingleses, que llaman la diferencial con el nombre de fluxion, y fluente á la cantidad finita, cuyo elemento es la diferencial. Seguimos esta práctica por ser la de todos los Matemáticos del continente de Europa, y porque no está expuesta á los inconvenientes de la otra. "Porque llamamos (dice Euler [25] diferenciales las diferencias infinitamente pequeñas de que aquí tratamos, suele llamarse cálculo diferencial aquel cuyo obgeto es hallar las diferenciales, y aplicarlas á los usos para que se consideran. Los Matemáticos Ingleses, entre los quales Newton fue el primero que usó este cálculo, así como Leibnitz lo fue en Alemania, usan otros nombres y signos. Las diferencias infinitamente pequeñas, que nosotros llamamos diferenciales, ellos las llaman comúnmente fluxiones, y algunas veces incrementos ; cuyos nombres, por ser de un latín mas castizo dan bastante á conocer las cosas que significan. Porque una cantidad variable, que, al paso que crece, va adquiriendo succesivamente distintos valores, se puede considerar como que fluye ó corre, y de aquí es, que el nombre de fluxion, de que usó primero Newton para expresar la rapidez en el crecer, sirvió después por analogía para expresar el incremento infinitamente pequeño que la cantidad adquiere como fluyendo".

"Y aunque es cierto que sería estraño el empeñarnos en disputar con los Ingleses acerca del uso y de la significación de las voces, y que perderíamos el pleyto en el tribunal de todo juez que atendiese á la pureza del latín, y á la propiedad de las expresiones ; sin embargo no hay duda en que por lo tocante á los signos llevamos ventaja á los Ingleses. Porque ellos suelen señalar las diferenciales, á quien llaman fluxiones, con puntos puestos encima de las letras, de modo que la primera fluxion de y la pintan así y, la segunda ÿ, la tercera ÿ, y las demás á este tenor. Bien que este modo de señalar que es arbitrario, no se puede reprobar quando sea tan corto el número de los puntos que sean fáciles de contar ; no obstante, siempre que se hayan de escribir muchos, causarán no poca confusión, y muchos inconvenientes. La diferencial o fluxíon décima, por egemplo, será muy molesta de señalar de esta manera y, siendo así que señalada á nuestro modo d10y, se percibe inmediatamente. Y casos suelen ofrecerse donde es preciso expresar órdenes mucho mas elevados é indefinidos de las diferenciales, para los quales de nada sirve el método de los Ingleses.

"Usaremos, pues, nuestros nombres y signos, porque aquellos se han connaturalizado con el uso en este país, y se han hecho familiares á los mas, y estos son mas acomodados. Pero no por eso ha sido, impertinente hacer memoria de los nombres y signos que usan los Ingleses, pues con esto facilitamos la inteligencia de sus obras á los que las manejaron. Porque tampoco están los Ingleses tan arrimados á su estilo, que desechen y se desdeñen de leer las obras escritas por nuestro método. Nosotros confesamos que hemos leído sus escritos con sumo gusto, y muchísimo fruto ; y se nos han ofrecido repetidas ocasiones de reparar que ellos también han leído con aprovechamiento las obras de nuestros escritores. Por lo que, aunque sería muy del caso que unos y otros usásemos un mismo modo de expresar nuestros pensamientos ; sin embargo no es muy dificultoso el que nos enteremos todos de uno y otro, lo que basta por lo menos para la inteligencia de las obras escritas por el método ageno."

Por lo que mira al modo de diferenciar, y á las muchas aplicaciones que hacemos del cálculo diferencia], hemos disfrutado tantas obras, que sin nota de pesadez no podríamos detenernos á especificar lo que de cada una hemos aprovechado. Bastará decir por mayor que todo está sacado del Marques del Hospital, de Bougainvílle [26], Thomas Simpson [27], Emerson [28] Ricati [29], Bezout [30], el Abate Marie [31] , y otros escritores que luego nombraremos.

Para la cabal resolución de la mayor parte de las cuestiones á que se aplican los nuevos cálculos, no basta considerar los límites de las razones de las cantidades finitas, es también preciso determinar estas cantidades, sacando su valor de las expresiones en que van cifrados dichos límites. Esta última operación es de la incumbencia del del cálculo integral, el ramo más dificultoso de toda la Matemática Especulativa. El que atendiera á la importancia de este cálculo, echará de ver que nos hemos quedado muy cortos, nos conformamos sin quexa alguna con este juicio, pues según el plan que desde los principios habíamos formado de todo este Curso, quisimos destinar un tomo, y era el quarto, para tratar con la competente individualidad muchísimos puntos de tan árduo asunto. Al tiempo de poner por obra este pensamiento nos acobardaron algunos recelos que hemos manifestado en el Prólogo del Tomo primero, y nos ceñimos en asunto de cálculo integral á los puntos mas precisos.

Sin embargo, sobre qué nuestro tratadito de cálculo integral, bien que diminuto, basta para la inteligencia de todos los tratados siguientes, también incluye la resolución de las principales cuestiones á que suele y debe aplicarse en toda obra elemental como la nuestra. Nos lisongeamos con que atendidas estas circunstancias, no desdiga de los tratados á que se sigue. Un autor que considera un objeto por el enlace que tiene con otros, dexa cumplidamente concluida su tarea siempre que toca todos los puntos en que estriba la trabazón de su asunto con los demás : solo al que escribe de propósito sobre una materia le toca incluir en su escrito quanto sobre ella hay que saber.

Es tan varia la índole de las cantidades cuya integración se ofrece egecutar quando se aplica la Matemática Pura á la Mixta, que ha sido preciso apelar á recursos muy varios para integrar las cantidades diferenciales, empeñándose los mayores calculadores de este siglo en buscar diferentes métodos de integración, con la esperanza de que suplan unos lo que otros no alcanzan. Aunque desde la invención del cálculo diferencial se manifestó la necesidad del integral, y le adelantaron no poco los Matemáticos de fines del siglo pasado, y principios del presente, es constante que sus mayores progresos los ha hecho de unos treinta años á esta parte. En Inglaterra Cotes [32], Maulaurin, y Thomas Simpson ; en Francia M.Clairaut, D’Alembert, Bougainville, Fontaine, el Marques de Condorect, y los PP. Leseur, y Jacquier ; en Alemania el Sr. Euler ; en Italia la Señora Agnesi, Mr. de la Grange, la familia de los Ricatis, y otros matetnáticos se han dedicado con mucha fortuna á promover este ramo de Análisis. De algunos de estos escritores hemos aprovechado lo que permitía nuestro intento pero á ninguno tenernos tanto que agradecer como á M. Bezout, de cuyo curso hemos copiado lo mejor y mas dificultoso que sobre éste asunto publicamos, por lo bien digerido que trae lo que nos hacia al caso, y porque en punto de elegancia y claridad no conocemos autor ninguno elemental que le pueda competir.

En el cálculo integral se hace patente la necesidad dé los métodos que propusimos en el Tomo II. para resolver las equaciones superiores ; porque la integración de las fracciones racionales, por egemplo, no se puede alcanzar en muchos casos, conforme lo insinuamos, sin hallar los factores de su denominador, ó, lo que es lo propio, sin sacar todas sus raíces, sean iguales, desiguales, todas reales, ó imaginarias algunas de ellas.

También manifiesta el mismo cálculo la precisión de acudir á la doctrina de las líneas curvas, y esto sucede siempre que tropezamos con aquellas diferenciales que no sufren una integración cabal, pudiéndose integrar todas ellas con suponer la quadratura de una curva algebraica, si la diferencial no llevare mas que un signo de integración, ó de una curva mecánica, siempre que llevare muchos. Y porque entre las curvas algebraicas las mas familiares son las secciones cónicas, á su quadratura procuró Newton reducir quanto pudo las integraciones de esta naturaleza, que se deben reducir particularmente á la quadratura del círculo y de la hipérbola, por lo mucho que, las tablas trigonométricas y logarítmicas abrevian los cálculos.

Sin embargo, como la rectificación de muchas curvas es mas fácil de conseguir que su quadratura, aunque sea envolviéndolas con un hilo cuyo método mecánico puede bastar en muchos casos tiene mas cuenta valerse de este recurso para la integración de las diferenciales que no caben en la regla fundamental. Pero el reducir una integral á la rectificación de una curva algebraica es operación sumamente trabajosa. Juan Bernouli abrió para esto el camino que otros Matemáticos han procurado allanar, haciendo general la proposición de Newton, y dando á conocer los tropiezos que lejos de abreviar las integraciones, las harían mas trabajosas todavía siguiendo el mismo camino.

Con motivo de enseñar cómo se integran por aproximación algunas diferenciales, volvemos á hablar de las series, declarando cómo se levanta á una potencia qualquiera una serie, ó un infinitinomo, cuya operación es sumamente dificultosa sin el auxilio del cálculo diferencial [33] . Los que hubieren llegado hasta esta parte de nuestro Curso, podrán acudir á una obra de Stirling, Inglés [34], donde trata por un término nuevo algunos puntos muy importantes de la doctrina de las series. Entre otras cosas enseña cómo se transforma una serie que converge muy lentamente en otra que converge con rapidez, cómo se suman las series que se derivan de la quadratura de las curvas, y otras muchas, que, sin que lo prevengamos, se conoce que son de muchísima importancia para la integración de las cantidades. Pero como las series no dan mas que valores aproximados, no hemos de apelar á este recurso, sino después de muy experimentada la insuficiencia de todos los demás ; y aun entonces conviene sacarlas tan convergentes como sea posible, por no enredarnos en cálculos capaces de aburrir al mas infatigable calculador, á no ser que nos queramos contentar con valores que se aparten mucho del verdadero.

Incluimos en este Tomo la Trigonometría Esférica con la mira de que nos quedara mas lugar en el séptimo, que trata de Astronomía, en cuyas investigaciones hace esta Trigonometría mucho papel ; y por no separarla de las analogías diferenciales que la completan, nos apartamos de la práctica general de todos los escritores, que suelen juntarla á continuación de la Geometría Elemental con la Trigonometría Plana. A excepción de algunas proposiciones del Curso, de M. Bezout, todo lo que pertenece á la resolución numérica y gráfica de los triángulos esféricos es de M. Mauduit [35]. De su obra hubiéramos copiado también las analogías diferenciales, a no ser que habiendo hecho el ánimo de que fuese nuestra Astronomía no extracto de la de M. de la Lande, nos estaba mas á cuenta apropiarnos todo lo que este insigne Astrónomo trae sobre el mismo asunto en el tomo tercero de su Astronomía. Las proporciones que resuelven los triángulos, así rectilineos, como esféricos, no pueden dar cabal el valor de la cantidad que se busca, si en el cálculo se desentiende el calculador de la variación que padece alguno de los datos ; pero saldrá verdadero su valor siempre que se llevare en cuenta esta variación, sea incremento, o decremento. Con todo eso, habla sido general el descuido de todos los Matemáticos en esta parte hasta que el célebre Cotes publicó un escrito [36] con el fin de manifestar los errores que de aquí se seguían en la Matemática Mixta, el qual se halla traducida en la Obra citada de M. Mauduit. Desde entonces salen mucho mas ajustados á la verdad los cálculos astronómicos, y todos los autores de Astronomía suponen conocida, ya que no la declaren, la doctrina de las analogías diferenciales.

Finalizaríamos aquí nuestro Prólogo, si no tuviéramos por indispensable satisfacer á muchísimos lectores, que no contentos con lo que publicamos de Matemática Especulativa, desearen saber en qué libros hallarán doctrina que mas quadre con sus fines ó su gusto. Ya hemos insinuado muchas veces que no conocemos para el caso obra ninguna que pueda compararse con los Elementos del P. Gherli, no solo por su claridad, mas también por la extensión con que trata los asuntos. El estudio de esta Obra le aconsejamos á los que quisieran saber mucho, y mucho mas sabrán todavía si se alentaren á seguir otro camino, bien que no tan corto ni tan llano. Después de estudiado el Curso del P. Gherli empéñense en estudiar la introducción, el cálculo diferencial, y el cálculo integral de Euler [37] ; y como tengan constancia hasta llegar al término de esta carrera, podrán lisongearse con que ya no habrá para ellos especie nueva en la Matemática Pura, ni tratado alguno que pueda molestarlos. Pero antes de estudiar el cálculo integral del Matemático Suizo, les tendrá muchísima cuenta estudiar el de los PP. Leseur, y Jacquier [38] ; cuyo tratado, sobre estar escrito con admirable método y suma claridad, trae algunos modos de integrar, que no se hallan en la Obra de Euler, y también podrán leer las Lecciones de M. Cousin. Ha seguido este último autor en su tratado, para el qual ha disfrutado mucho las Obras de Euler, un rumbo del qual aseguramos que se agradarán no pocos lectores ; porque antes de enseñar cómo se consigue la integración de algunas clases de diferenciales, propone las cuestiones de Matemática Mixta de las quales se originan, con cuyo artificio quita á varios métodos de integrar los visos de abstractos, que tienen en los mas de los escritores.

Los aficionados que no llevaren miras tan sublimes, podrán contentarse con el tomo III. del Curso de Hennert, que compone un tratadito muy precioso de cálculo infinitesimal por el estilo Euleriano, que sigue el autor en todos sus tratados. En Emerson hallarán unas tablas muy socorridas para integrar, y muchísimas aplicaciones á varios asuntos. Simpson, no solo trae mas doctrina todavía, sino que en punto de claridad lleva también notabilísima ventaja á Emerson ; y finalmente, en el Curso del Abate Sauri [39], que se distingue poco de una traducción de las Instituciones de Ricati, están extractadas algunas obras de cálculo integral, que por su gran dificultad han tenido hasta ahora pocos lectores. En el tomo quinto de esta última obra van resueltas muchas cuestiones de Matemática Mixta, y algunas de ellas por el principio de la acción mínima, que abrevia mucho el camino de la verdad, cuyo principio es invención de M. Euler, y aplica M. Cousin en sus Lecciones á la resolución de una cuestión de Dinámica muy sonada en este siglo, cuyo empeño á su tiempo diremos en qué consiste.

Ya que nos hemos detenido tanto en especificar los principales asuntos que incluye este tomo, razón será que hablemos también de los que hemos omitido, o de intento, o por olvido, y son la teórica de las curvas de doble curvatura, el método inverso de las tangentes, y la doctrina de las variaciones. Ninguna de estas omisiones tiene disculpa, pues aun quando no nos tocara internarnos en ninguno de los puntos omitidos, era indispensable manifestar por lo menos sus fundamentos, una vez que era mira y obligación nuestra dar á la Nación en su lengua una obra que pudiese enterarla de los principales descubrimientos que ha hecho la Matemática de un siglo á esta parte. No dexamos de conocer que si nos empeñáramos en cavilar, acaso no le faltarían á nuestro amor propio razones o sofisterías con que disculpar estos descuidos ; pero quédese el hacer tan honrado uso de la dialéctica para aquellos escritores que tienen la particular fortuna de contemplarse infalibles o irreprehensibles. A nosotros, cuyas pretensiones no pueden ser tan sublimadas, no nos queda otro recurso que enmendar, en lo que cabe, nuestro yerro antes de rematar este Prólogo.

Las curvas de doble curvatura son aquellas que además de la curvatura particular á su contorno o perímetro, tienen la de la superficie sobre que están trazadas ; tal sería, por egemplo, un círculo trazado en la superficie de un cono. Sobre estas líneas publicó Clairaut á los diez y seis años de su edad una obra [40], por la qual todos los hombres grandes que había entonces pronosticaron, y se verificó su pronóstico, que aquel muchacho llegaría á ser uno de los mayores Matemáticos de este siglo.

El método inverso de las tangentes consiste en hallar la equacion de una curva por medio de la expresión de su subtangente, normal, quadratura, &e. echándose de ver que estas operaciones son las inversas de las que proponemos en este Tomo núm- 371 y 564. Supongamos que 2y2/a sea la expresión de la subtangente de una curva ; por ser ydx/dy la fórmula general de la subtangente, será 2y2/a = ydx/dy de donde saldrá dy 2y2 dy = a y dx, 2y dy = a dx, é integrando sacaremos 2y2/2 = ax, o yy = ax, que es la equacion de una parábola cuyo parámetro es a.

El cálculo de variaciones invención del célebre M. de la Grange, consiste en hallar las variaciones que padecen cantidades compuestas, como se quiera, de dos variables x é y, siempre que la equacion o relación primitiva entre dichas dos variables llega á padecer una mudanza qualquiera infinitamente pequeña. Sea, por egemplo, la equacion ax = yy, que corresponde á una parábola, cuyo parámetro es a, la abscisa x, y la ordenada y, y expresa la relación entre a é y ; si en esta equacion hacemos una alteración infinitamente pequeña (y esto se puede egecutar de mil modos distintos) si añadimos, pongo por caso, al parámetro una cantidad infinitamente pequeña a, por manera que dicho parámetro llegue á ser a+a, es evidente que á fin de que sea yy = el producto (a + a)x, será preciso añadir también á la variable y un incremento infinitamente pequeño y, para sacar la equacion variada (a+a)x = (y+y)2, la qual discrepa infinitamente poco de la primitiva yy = ax. Dicha equacion variada corresponde á otra parábola, cuyo parámetro es a+a, la abscisa x, la misma que antes, y la ordenada. y+y qué solo discrepa de la ordenada y correspondiente á la abscisa x de la primera parábola, una cantidad y infinitamente pequeña.

"Se considera, pues, dice Leonardo Euler [41] en el cálculo de las variaciones la relación que hay, sea la que fuere, entre dos variables qualesquiera, expresada con una equacion qualquiera, por cuyo medio se determinan en virtud de cada valor particular que se la da a x, los valores correspondientes de y, suponiendo entonces que á cada uno de los valores de y se le añaden, sea como fuere, unos incrementos infinitamente pequeños, de modo que sus valores variados discrepen infinitamente poco de los verdaderos que se deducen de la equacion primitiva ; en este sentido se dice que varía la relación entre x é y, y dichas partículas infinitamente pequeñas se llaman añadidas á los valores de y. Pero es de suma importancia tener presente que las variaciones o incrementos que se conciben añadidos á cada valor de y, ni son iguales entre sí, ni dependientes unos de otros ; pendiendo tanto de nuestro arbitrio, que todos ellos, excepto uno o algunos correspondientes á ciertos valores de y, se pueden considerar como nulos. Estas variaciones no guardan ley ninguna, ni la relación primitiva entre x é y influye en la determinación de estas variaciones, que hemos de considerar como enteramente arbitrarias."

"De aquí se evidencia que las variaciones son totalmente distintas de las diferenciales, aunque ambas son infinitamente pequeñas, y se desvanecen del todo ; porque la variación de y pertenece al mismo valor de x, siendo así que la diferencial de la misma y o dy, corresponde al valor de x aumentado, o á x+dx."

"Por la idea que hemos dado en general del cálculo de las variaciones, prosigue el citado autor, queda dudoso de que sea de mucha utilidad, y así nos detendremos á manifestar su origen, refiriendo con qué motivo se ha inventado. Ha dado principalmente ocasión á este invento la resolución de las cuestiones, cuyo objeto es determinar las curvas que gozan cierta propiedad de máximo o mínimo ; y por no obscurecer este punto proponiéndole con mucha generalidad, nos pararemos á considerar la cuestión, que se dirige á. hallar la línea curva, por la qual cae un cuerpo, con la circunstancia de que en el menor tiempo posible baxe desde un punto dado á otro punto dado. La naturaleza de los máximos y mínimos está manifestando desde luego que la curva ha de ser de tal naturaleza, que si en su lugar se substituyera otra que discrepe infinitamente poco de ella, el tiempo de la baxada será de todo punto el mismo. Por consiguiente la cuestión se debe resolver de manera que mirando como “dada la curva pedida, el cálculo quadre también con otra curva que se diferencie infinitamente poco de ella, con el fin de calcular por este medio la diferencia que resulta en la expresión del tiempo ; porque haciendo después igual con cero esta diferencial, se inferirá la naturaleza de la curva pedida. Pero estas curvas que discrepan infinitamente poco de la que se busca se determinan comodísimamente con suponer que á las aplicadas correspondientes á cada abscisa se las añade o quitan porciones infinitamente pequeñas, o con considerar que padecen variaciones. Por lo común basta considerar esta variación en sola una aplicada, bien que no tiene inconveniente alguno considerarla en muchas, o en todas ellas, siendo siempre indefectible llegar á una misma resolución. Por este medio, no solo se hace mas patente la excelencia del método, sino también se consiguen mas completas las resoluciones de las cuestiones á que se aplica, de modo que se extiende igualmente á cuestiones propuestas con otras circunstancias."

NOTAS

[Notas al pie de página]

(2) Traité d’Algebre, el de la maniere de l’appliquer. Traduit de l’Anglois de M. Maclaurin, de la Societé Royale de Londres, Profeseur de Mathématique à Edimbourg. Avec des augmentations tirées des Mathematiciens les plus célebres. Un tomo en 4. París, 1753.

(3) Traité des Courbes Algebriques. Un tomo en 12. París, 1756.

(4) Traité analytique des sections coniques, et de leur usage pour la resolution des equations dans les problémes tant détermines qu’indéterminés. Ouvrage Postbume de M. le Marquis de l’Hospital, Academicien honoraire de l’Academie Royale des Sciences. Un tomo en 4º París 1704.

(5) Hay sobre las secciones cónicas otro tratado analytico con el título siguiente : Traité anaiytique des sections coniques, fluxions et fluentes. Avec un essai sur les quadratures, et un traité du mouvement. Par M. Muller, Professeur de Mathématiques à l’Ecole Royale de Volwicb, traduit de l’Anglois par l’Auteur. Un tomo en 4. París 1760. No se puede comparar esta obra con la del Marques del Hospital por diminuta en lo que toca á las secciones cónicas, y obscura en todos los puntos que trata su autor.

(6) Del tratado del Marques hace Saunderson, Ingles, en el Torno II. de sus Elementos de Algebra, plana 211, el juicio siguiente :

Au moyen der troi r,,Iernici-s artieles le lecteur pou.-ra re formff quelque idée de cequ’il faut entmdre par lieux géometrique, ¿ ? de kur usago dant la solution Z ? dam ía cmstruction des priII.,mcr gé’omítrique,r ; mais il tu¡ r. ra imporriblde re metire bien aufait de ces m@ Aires, J’il Wéíudíe awc Lo¡ » les lrectiow conique@, qui íont les liewx q@on em ordi@remmt dans la nmction de toutex les ¿quations de plus dc deux degrés.,7e recottimderai pour cet 4Tot la lectura dts Traíté des seccions coniques du Marqííií de PHopital. o age Post@e d ¡a @rité, mais némmoins tris correct á un pesis nornbre dendroits prés, dont quelques un$’$ d- mon avis, ont été cen@ rér trop ídwremmt ; out si ílon considere qtoiír peuvent étre airé’,pui.t corrigéí, 63 qú’iís Patiroicnt ése sansdouto si l’auteur avoit v !cu arroz longtems par m« tre ía derniére @n d cet ouvrage. Ce Trai-té tw paroit pius clair, plus facii¿ d mmprendre, $3 Plus propre d eweigtwr bien des choíes en peu de tems, quaumn autre qui tnc »it e^ E ? je tí recomma@ surtour d cedernier égard. Dans les quatre deryúers livres de mes vu,vrage on orouve la matiére der iieux gé triques, rétativement ¿ lezír emstruction $3 d leur usage, pafaitement bien approfmdie, ¿ ? ¿clair£¡e Par un nombre jwfflrant dexemPie.r. En un mot, k plan de cet excel-cellent Traité est, d toris ég¿zrds, sibietifait, ¿ ? executé avectant defaciíiq, dz elarti $3 de jugetnent, qtie cc seroít me vanité inexcuwír d moi de ponser íewetisent pouvoir ap&.-r q&wlque cboíe d une piécc austi flnie.

"Por medio de los tres últimos artículos podrá el lector formar algún concepto de lo que comúnmente llamamos lugares geométricos, y de, su uso para resolver y construir los problemas (cuestiones) geométricos ; pero no podrá enterarse bien de estos asuntos, á no ser que primero se imponga en la teórica de las secciones cónicas, que son los lugares de que se hace uso por lo regular para la construcción de las equaciones que pasan del segundo grado. Para cuyo fin le aconsejo lea el tratado de las secciones cónicas del Marques del Hospital : obra pósthuma á la verdad, pero sin embargo de eso muy correcta, á excepción de unos pocos pasages, que algunos han sido criticados, en mi juicio, con sobrado rigor ; y particularmente si nos hacemos cargo de que son muy fáciles sede enmendar, y que los hubiera enmendado sin duda alguna su autor si hubiera vivido bastante para dar la última mano á esta obra. Este Tratado me parece mas claro, mas fácil de entender, y mas a propósito para enseñar muchas cosas en poco tiempo, que otro ninguno de los que conozco ; y por este último motivo aconsejo particularmente su lectura. En los quatro últimos libros de dicha obra está la doctrina de los lugares geométricos, por lo tocante á sus usos y construcción, tratada con toda profundidad, y aclarada con bastantes exemplos. En una palabra, el plan de este excelente tratado es á todas luces bien hecho y executado con tanto despejo, claridad y juicio, que sería de mi parte vanidad muy culpable solo el pensar que pudiese añadir algo á una obra tan acabada."

(7) Lo declaro en este Tomo pág. 12.

(8) De una cantidad incógnita á una cantidad indeterminada va la diferencia de que el número de los valores de la primera es muy limitado, siendo así que la otra puede tener infinitos valores. En una equacion con dos indeterminadas 6 variables, pongo por caso, se sacarán para la una infinitos valores por razón de que puede la otra representar una infinidad de cantidades distintas ; pero una vez que á la segunda variable se la señale un valor particular, o determinado, la primera no podrá tener ya « m valores á lo sumo, que quantas unidades tuviere su exponente.

(9) La razón de esto se hallará en este Tomo pág. 20.

(10) Introduct. in Analys. infin. tom. 2.

(11) Analyse des infinitement petits pour l’inteligence des lignes caurbes. Par M. le Marquis de l’Hospital. Un tomo en 4. París 1699.

(12) Al mismo tiempo le inventó también Leibnitz en Alemania.

(13) Véase su grande Obra Philosophia naturalis Principia Mathematica. S

(14) A Treatise of Fluxions in two books. By Colin Maclaurin, Professor of Matbematics in tbe Universiti of Edinburgh, and Fellow of the Róyal Society : dos tomos en 4. Edimburg 1742

(15) Institutiones diferentialis cum ejut usu in Manalysi finitor um ac doctrina serierum. Auctore Leeonhardo Eulero &c. Dos tomos en 4. Petersburgo 1755

(16) Melanges de Philosophie et Litterature.

(17) Leçons de Calcul diférentiel et de Calcul integral, par M. Cousin, de l’Académie Royae des Sciences, et Lecteur Royal en Physique : dos tomos en 8. París 1777.

(18) En el capítulo segundo de su Obra hace acerca de los límites de tu cantidades algunas consideraciones sumamente luminosas en esta materia

(19) Initit. Analytic. tom. 2.

(20) Physica generalis methodo mathematico tractata. Auctore Joanne Baptista Scarella, Clerico Regulari : tres tomos en 4. Brescia 1754 57

(21) Los demás le han copiado, o extractado.

(22) The method of increments. WHerein the Principles are demonstrated ; and the practice thereof shewn in the solution of Problems. Un tomo en 4. Londres 1763.

(23) Oigamos cómo da esta quexa el mismo Emerson,

"The inventor of tbe method of increments was tbe leanerd Dr.Taylor, who in tbe year 1717, Pubished a treatise of that method ; and afterwards gave some fartber explanation of ibe same in tbe Philosophical Transactions, as applied so tbe finding the sums of series. But as the Doctor’s writings upon this subject, aro all in latin, and have nrver been translated entire ; and as his way of writing, is so very short and abstracted, as not to be obvious to common readers ; It has happened, that this elegant method of computation has lain ever sínce in obscurity, has been read by few, and improved by none".

"El inventor del método de los incrementos fue el docto Taylor, quien publicó en el año de 1717 un tratado sobre este método, y después se aclaró mas en las Transacciones Filosóficas, aplicándole á la sumación de las series. Pero sobre que quanto Taylor escribió en este asunto está en latín, y jamas se ha traducido enteramente ; es por otra parte tan sucinto y abstracto su modo de escribir que no son fáciles de entender sus escritos para el común de los lectores, y esta ha sido la causa de haberse quedado desde entonces en la obscuridad este elegante método de calcular, habiendo tenido lectores pocos, y promovedor ninguno."

(24) De estas curvas espirales hay un buen tratado en el tomo segundo de la Física de Escarela.

(25) Quotiam differentias infinito parvas, quar hic tractamus, differentialia vocamus, binc totur caíctdur quo diferentialia investiganttír atque ad us&om accommodantur, appellari solas calculus differentialis. Mathrmatici Angli, inter quos primum Newtonus eque ac Leibnizius inter Germanos hanc novam Analyseos partem excolere caepit, aliis tam nominibus quam signis utuntur. Diferentias enim infinito parvas, quas nos ditterentialia vocamus, potissimum fluxiones nominare solent, interdum quoque incrementa : quae voces uti latino.sermoni magis conveniunt, íta quoque res, quas denotant, satis commode exprimtmt. Quantitar enim variabiiir crescendo continuo alios atque alios valores recipiens tanquam fluens considerari potest, hincque vox fluxionis, quae primum à Newtono ad celeritatem crescendi adhibebatur, ad incrementun infinite parvam, quod quantitaí quasiflumdo accipit, designandum atiologice est translata.

Quamvis autem círca vocum usum atque definitionem cum Anglis disceptare absonum foret, nosque coram judice paritatem latine linguae, atque expressionum commoditatem ípectante facile superaremur ; tamen nuilum est dubium, quin Anglis ratione sígnorum palmam praeripiamus. Diferentialia enim, quae ipsi fluxiones appelant, punctis, que litteris superscribunt, denotare solent, ita ut y, iis significet fluxionem primam ipsius y ; ÿ.flxionem secundam ; ÿ fluxionem tertiam, atque ita porro. Qui notandi modus, uti ab arbitrio pendens, etsi improbari nequit, si punctorum numerus fuerit parvus, ut numerando facile percipi quaeat ; tamen si plura puncta inscribí debeant, maximam confusionem plurimaque incommoda afert. Diferentiale enim seu fluxio décima perquam incomode hoc modo y representatur, cum nostro signandi modo d10y, facillime comprehendatur. Oriuntur autem casus, quibus multo adhuc superioires diferentialiam ordines atque adeo indefiniti exprimi debent, ad qtioí Angiorum modus prorstts fit ineptur.

Nostris igitur tam nominibus quam signis utemur, quippe quorum illa in motris regionibus jam sunt usu recepta, atque plerisque familiaria, baec vero comtwdiora. rnterim tamen non abs re erat Anglorum demonstrariones f3 sigoaiones bie w.mmemorare, at qui coram libros evotvunt, eos quoqíje intelligere queani. Neque enim Angli íuo twri tam pertiywiter adbermt, ut que mítro more sunt scripta, prorsui repudimt, nec legere dignentur. Nos quidem ipsorum opera maxima cum aviditate perlegimus, ex iisque summum fructum percipimus ; sepa numero -vcro eriam animadvertimus, ipsos nostratium scripta non sine utilizase legisse. Quamobrem etsi idem ubique atque aequabilis modus cogitata sua exprimendi muime esset optantlur, tamen non admodum est difficile, ut utrique assuescamus, quantum quidem intelligentia librorum alieno more rcriptorum postulat.

(26) Traité du Calcul intégral, pour servir de suite à l’Analyse des infiniment petits de M. le Marquís de l’Hospital. Par M. Bougainville le jeune : Dos tomos en 4. París 1754.

(27) The doctrine and application of.fluxions. Containing(Besides what is common on the subject) A number of new improvements in the taeory. And the solution of a variety of new, and very interestíng problems in diferent branches of the Mathematicks. By Thomas Sympson. Dos tomos en 8. Londres 1750.

(28) The doctrine of fluxions : not only explaining the elements thereof, but also its application and use in several parts of Mathematics and natural Philosophy. By Williams Emerson. Un tomo en 8. Londres 1757

(29) Institutiones Analyticae.

(30) Tomo IV de su Curso para los Caballeros Guardias Marinas.

(31) De sus Lecciones, cuyo título copiamos en una nota del Prólogo del Tomo antecedente.

(32) La Obra de Cotes salió en latín con este título Harmonia mensurarum, pero tan dificultosa, que un Monge Benedictino, Inglés, se dedicó á aclararla, publicando de ella una traducción francesa con este título : Analyse des mesures des rapports et des angles ; ou reduction des intégrales aux logaríthmes, ey aux arcs de cercle. Par Don Charles Walmesley, Benedictin Anglais. París 1749- un tomo en 4. Está escrita con suma claridad esta obra, y algo la hemos disfrutado. El autor del original, Cotes, murió de edad muy temprana, dexándo frustradas las grandes esperanzas que en su extraordinaria penetración y tino matemático tenia fundadas el gran Newton, quien manifestando su sentimiento decía, que si Cotes hubiera vivido, hubiéramos sabido algo.

(33) También enseñamos cómo se halla el radical, de dónde se deriva una serie propuesta, cuya operación declaran poquísimos autores.

(34) Es obra original, y salió á luz con este título : Methodus dífferentialis : síve tractatus de Summatione et interpolatione seríerum infiniarum. Auctore Jacobo Sterling. Londres 1764. un tomo en 4.

(35) El título de esta obra está copiado en una nota del Prólogo del Tomo antecedente.

(36) Con este titulo : De Erroribus in mixta Mathesi.

(37) Institutiones calculi integralis. Auctore Leonhardo Eulero. Tres tomos en 4. Petersburgo 1768, 69 y 70.

De los elogios que he dado á las Obras de este gran Matemático siempre que se me ha ofrecido hacer mención de alguna de ellas, se indica el sumo aprecio en que las tengo. No conozco otras mas a propósito para el que deseare hacer sólidos progresos en el estudio de las Matemáticas ; la inventiva de su autor, su extraordinaria destreza en todos los ramos de la Análisis, la multitud de los asuntos que ha tratado, y la profundidad con que los desentraña, preocupan a favor de los escritos que no se ha desdeñado de componer para los principiantes, dé los quales han sacado no poco, muchas veces callándolo, los autores de algunas obras que he tenido presentes. Advirtiendo este docto varón estar errada la resolución de una cuestión que trae al tomo segundo de su cálculo integral, Pág. 426, dice alli mismo : Pág. 429.

"La enmienda de estos errores se saca de la cuestión 54. que está mas adelante para quando se consideran los factores iguales en una equacion particular. He tenido por mas conveniente dexar al cuidado de los lectores hacer esta enmienda, que no quitar de mi tratado este descuido ; por lo muy provechoso que suele ser dexar en las obras los yerros que cometen sus autores, aunque muy ejercitados, á fin de que los aficionados á estos estudios vean con quánta circunspección debe proceder el que no quiera halucinarse al tiempo de discurrir." Y hablando de lo mismo, Pág.503, añade : "Por lo que mira á los factores imaginarios, la reducción de las integrales que de aquí se derivan, será mas fácil de egecutar en general, por lo que no me detendré mas tiempo en considerar los casos particulares. Pero en quanto á los casos en que hay factores iguales, me ha parecido conveniente recorrerles de propósito con mas cuidado respecto de cada grado, porque por haberme apresurado demasiado antes á sacar la evolución general, caí en un error muy grande, lo que no me hubiera sucedido, si me hubiese valido entonces del mismo método que ahora. Aquí no es de temer este tropiezo acerca de los factores imaginarios, porque no hay que despreciar cantidad ninguna en forma de infinitamente pequeño. De esto se originó el descuido que padecí antes, descuido que pide sutileza el advertirlo, y para hacerlo mas patente manifestaré ahora en qué consiste, y cómo se enmienda."

Correctinem horum errorum petere licet ex seq. probl. 154 dum tactores aequales in equationem peculiarem conjuciuntur. Malui autem hunc correctionis laborem industria lectorum relinquere, quam hoc opus a tali errore liberare ; sepe enim plus prodest errores, in quos etiam exercitatis incidere contingit, conservari, quo melius harum rerum studiosi addiscant quanta circunspectione cavendum sit, ne in ratiocinando hallucinemur.... Quod ad factores imaginarios attinet, integralium inde natorum reductio facilius in genere instituetur, unde in his differentialium gradibus determinatis, non amplius immorabor. Factores autem eaquales hic data opera pro singulis gradibur accuratius persequi est visum, quia supra nimis cito ad evolutionem generalem properanti in insignem errorem illabi contigit, quem statim feliciter evitassem, si eadem mettodo ibi essem usus. Huiasmodi autem vitium circa factores imaginarios hic non est portimescendum, cum in hoc negotio nihil sub specie infinite parvi negligendum occurrat. Ex hoc autem fonte errores illi, quos supra commisi sunt nati, quod vitium mbtiie quo clarius sub oculos ponatur, una cum necessaria evolucione hic evolvam.

¡Quán rara es esta ingenuidad en los semisabios ! El que mucho sabe, sabe que le queda mucho que aprender, o que está ceñida dentro de limites muy angostos toda la sabiduría del hombre. ! Dichosos aquellos literatos que en pocos años, en pocos meses, y solo con leer un prólogo se imponen en una facultad, señalan á su antojo el lugar que correspondía á cada facultativo y á sus escritos, y hablan y deciden confiados de que mirándolos con especial predilección los dotó naturaleza del don de nunca errar, ni en lo poco que saben, ni en lo mucho que ignoran.

(38) Elemens du calcul integral. Par les PP. Leseur et Jacquier. Dos tomos en 4- Parma 1768.

(39) Se hallan extractadas en el Curso del Abate Sauri las obras que sobre el cálculo integral han publicado en Francia M. Fontaine, y el Marques de Condorcet, ambos individuos de la Real Academia de las Ciencias. Pero se remontan tan alto estos insignes Matemáticos, que para muchos ha de ser penoso el estudio de sus escritos, y por lo mismo es de agradar el trabajo de los que como el Abate Sauri, y los PP. Lescur y Jacquier han procurado facilitar su inteligencia á los principiantes.

(40) Recherches sur les courbes a double courbure. Paris 1731 un tomo en 4.

(41) En el tom. III. De su cálculo íntegra, pág. 161, y sig.